पायथागोरसचा सिद्धांत: पायथागोरस हे थोर ग्रीक गणितज्ञ होते. गणित विषयातील त्यांचे योगदान खूप मोठे आहे. काटकोन त्रिकोणासंबंधीचा एक सिद्धांत अनेक देशातील लोकांना माहीत होता. मात्र त्या सिद्धांताची सिद्धता पायथागोरस ने प्रथम दिली म्हणून त्या सिद्धांताला पायथागोरसचे नाव देण्यात आले आहे. काटकोन त्रिकोणा संबंधीच्या या सिद्धांताला पायथागोरसचा सिद्धांत (Theorem of Pythagoras) असे म्हणतात.
(Theorem of Pythagoras)
काटकोन त्रिकोण कशाला
म्हणतात? Right angled tringle
ज्या त्रिकोणाचा एक कोन काटकोन असतो त्या त्रिकोणाला काटकोन त्रिकोण म्हणतात.
- त्रिकोणाला तीन कोण आणि तीन बाजू असतात.
- कोणावरून त्रिकोणाचे तीन प्रकार लघुकोन त्रिकोण, काटकोन त्रिकोण आणि विशाल कोण त्रिकोण.
- काटकोन त्रिकोणातील एक कोन काटकोन असतो.
- काटकोन त्रिकोणामध्ये काटकोना समोरील बाजूला कर्ण म्हणतात.
- गणिततज्ञ पायथागोरस यांनी मांडलेला काटकोन त्रिकोणासंबंधीचा पायथागोरसचा सिद्धांत हा या काटकोन त्रिकोणाशी संबंधितच आहे.
पायथागोरसचा काटकोन त्रिकोणासंबंधीचा सिद्धांत काय आहे याविषयीची माहिती आपण येथे पाहणार आहोत.
पायथागोरसचा सिद्धांत (Theorem of Pythagoras)
काटकोन त्रिकोणात कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गाच्या बेरजे इतका असतो.
म्हणजेच काटकोन त्रिकोणामध्ये कर्णावर काढलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ हे उरलेल्या दोन बाजूवर काढलेल्या चौरसाच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजे इतके असते, याला पायथागोरसचा सिद्धांत म्हणतात.
वरील आकृतीच्या सहाय्याने आपल्याला पायथागोरसचा सिद्धांत अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेता येईल. आपल्याला एक काटकोन त्रिकोण दिसत आहे. या काटकोन त्रिकोणामध्ये काटकोन करणाऱ्या बाजू या अनुक्रमे तीन व चार एकक लांबीच्या आहेत.
त्यानुसार त्या बाजूवर चौरस काढलेले आहे. चौरसाचे क्षेत्रफळ आपणास अनुक्रमे नऊ चौरस एकक व सोळा चौरस एकक दिसून येते.
काटकोना समोरील बाजू कर्ण आहे. कर्णा वर सुद्धा चौरस काढला असून त्याचे क्षेत्रफळ काढलेले आहे. कर्णाची लांबी पाच एकक असून त्याचे क्षेत्रफळ 25 चौरस एकक आहे.
पायथागोरस सिद्धांत नुसार पहावयास गेल्यास आपणास कर्णावरील चौरसाचे क्षेत्रफळ हे उरलेल्या दोन बाजूच्या चौरसाच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजे इतके असल्याचे दिसून येते.
वरील आकृतीत कर्णावरील चौरसाचे क्षेत्रफळ 25 चौरस एकक असून दोन बाजू वर काढलेले चौरसाचे क्षेत्रफळ अनुक्रमे नऊ चौरस एकक व सोळा चौरस एकक आहे. नऊ आणि 16 यांची बेरीज केल्यास तीही 25 चौरस एकक येते. यावरून आपल्याला या सिद्धांताची अनुभूती येईल.
पायथागोरसचे त्रिकुट:- नैसर्गिक संख्यांच्या त्रिकुटामध्ये जर मोठ्या संख्येचा वर्ग हा इतर दोन संख्याच्या वर्गाच्या बराजे इतका असेल तर त्याला पायथागोरसचे त्रिकुट म्हंणतात.
या ठिकाणी पायथागोरसचे त्रिकूट ठरवताना आपल्याला पायथागोरसचा सिद्धांत वापरावयाचा आहे. पायथागोरस त्रिकूटे आहे की नाही हे ठरविताना तीन बाजू दिलेल्या असतात. त्यापैकी सर्वात मोठी बाजू कर्ण समजून उर्वरित दोन संख्या या काटकोन करणाऱ्या बाजू समजाव्यात.
यानुसार सर्वात मोठ्या संख्येचा वर्ग हा उरलेल्या दोन संख्यांच्या वर्गाच्या बेरजे इतका असावयास हवा. जर यांची बेरीज बरोबर आली तर ते पायथागोरसचे त्रिकूट आहे असे मानले जाते. आणि कर्णाचा वर्ग आणि उर्वरित दोन बाजूंच्या वर्गांची बेरीज समान आली नाही तर ते पायथागोरसचे त्रिकूट नाही असे समजावे.
पायथागोरसचा सिद्धांत
सराव संच 49
1) पुढे काही त्रिकुट दिले आहेत, त्यातील पायथागोरसचे त्रिकुट कोणते आहे ते ठरवा.
i) 3, 4, 5
या उदाहरणांमध्ये सर्वात मोठी संख्या पाच आहे म्हणून पाच हा त्या त्रिकोणाचा कर्ण समजा.
3, 4, 5 या प्रत्येक संख्यांचे वर्ग करू.
32 = 9, 42 = 16, 52 = 25
काटकोन त्रिकोनामध्ये सर्वात जास्त लांबीची बाजू कर्ण असते.
.‘. (कर्ण)2 = दोन बाजूंच्या वर्गाची बेरीज
.‘. 25 = 9 + 16
.‘. 25 = 25
.‘. 52 = 32 + 42
.‘. पायथागोरसचा सिद्धांत नुसार 3, 4 व 5 हे पायथागोरसचे त्रिकुट आहे.
2, 4, 5 या प्रत्येक संख्यांचे वर्ग करू.
22 = 4, 42 = 16, 52 = 25
काटकोन त्रिकोनामध्ये सर्वात जास्त लांबीची बाजू कर्ण असते.
.‘. (कर्ण)2 = दोन बाजूंच्या वर्गाची बेरीज
.‘. 25 = 4 + 16
.‘. 25 # 20
.‘. 52 # 32 + 42
मोठ्या संख्येचा वर्ग हा इतर दोन संख्याच्या वर्गाच्या बराजे इतका येत नाही.
4, 5, 6 या प्रत्येक संख्यांचे वर्ग करू.
42 = 16, 52 = 25, 62 = 36
काटकोन त्रिकोनामध्ये सर्वात जास्त लांबीची बाजू कर्ण असते.
.‘. (कर्ण)2 = दोन बाजूंच्या वर्गाची बेरीज
.‘. 36 = 16 + 25
.‘. 36 # 41
.‘. 62 # 42 + 52
मोठ्या संख्येचा वर्ग हा इतर दोन संख्याच्या वर्गाच्या बराजे इतका येत नाही.
.‘. 3, 4 व 5 हे पायथागोरसचे त्रिकुट नाही.
iv) 2, 6, 7
2, 6, 7 या प्रत्येक संख्यांचे वर्ग करू.
22 = 4, 62 = 36 72 = 49
काटकोन त्रिकोनामध्ये सर्वात जास्त लांबीची बाजू कर्ण असते.
.‘. (कर्ण)2 = दोन बाजूंच्या वर्गाची बेरीज
.‘. 49 = 36 + 4
.‘. 49 # 40
.‘. 72 # 22 + 62
.‘. 2, 6, 7 हे पायथागोरसचे त्रिकुट नाही.
9, 40, 41 या प्रत्येक संख्यांचे वर्ग करू.
92 = 81, 402 = 1600, 412 = 1681
काटकोन त्रिकोनामध्ये सर्वात जास्त लांबीची बाजू कर्ण असते.
.‘. (कर्ण)2 = दोन बाजूंच्या वर्गाची बेरीज
.‘. 1681 = 1600 + 81
.‘. 1681 = 1681
.‘. 412 = 402 + 92
मोठ्या संख्येचा वर्ग हा इतर दोन संख्याच्या वर्गाच्या बराजे इतका आहे.
4, 7, 8 या प्रत्येक संख्यांचे वर्ग करू.
42 = 16, 72 = 49, 82 = 64
काटकोन त्रिकोनामध्ये सर्वात जास्त लांबीची बाजू कर्ण असते.
.‘. (कर्ण)2 = दोन बाजूंच्या वर्गाची बेरीज
.‘. 64 = 16 + 49
.‘. 64 # 65
.‘. 82 # 42 + 62
मोठ्या संख्येचा वर्ग हा इतर दोन संख्याच्या वर्गाच्या बराजे इतका येत नाही.
.‘. पायथागोरस सिद्धांत नुसार 4, 7, 8 हे पायथागोरसचे त्रिकुट नाही.
पायथागोरस सिद्धांत वर आधारित स्पर्धा परीक्षेमध्ये विचारले जाणारे प्रश्न
निरनिराळ्या स्पर्धा परीक्षांमध्ये पायथागोरस सिद्धांतावर अनेक प्रश्न विचारले जातात. यामध्ये प्रश्न विचारताना पायथागोरस त्रिकूट ओळखा, काटकोन मधील कर्णाची लांबी काढा यासारखे सरळ प्रश्न न विचारता त्यावर आधारित अप्रत्यक्ष प्रश्न विचारले जातात.
उदा – अर्धवर्तुळात परिघावर काढलेला कोन हा काटकोन असतो. यानुसार माहिती देताना परिघावर काढलेल्या काटकोन त्रिकोण यामध्ये आपल्याला काटकोन करणाऱ्या दोन बाजूंची लांबी दिली जाते व वर्तुळाची त्रिज्या विचारली जाते. अशा प्रकारचे उदाहरण सोडवताना काटकोन त्रिकोण म्हटलं की आपल्याला पायथागोरसचा सिद्धांत लक्षात यायला हवा.
अशी उदाहरणे सोडवताना आपण काटकोन करणाऱ्या बाजूंच्या वर्गाची बेरीज हा कर्णा च्या वर्गाच्या इतकी असते हे लक्षात घ्यावयाचे आहे. व त्यावरून कर्णाची लांबी काढता येईल. कर्णाची लांबी काढल्यानंतर अर्ध वर्तुळातील काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण हा त्या वर्तुळाचा व्यास आहे हे आपल्या लक्षात येईल. यातून आपल्याला व्यासाची लांबी मिळेल व व्यासावरून त्रिज्या काढता येईल.
स्पर्धा परीक्षांमध्ये काटकोन त्रिकोणावर आलेले उदाहरण पायथागोरसचा सिद्धांत वापरून आपल्याला सहज सोडवता येईल. काटकोन त्रिकोणावरील उदाहरणे सोडवताना सर्वात प्रथम पायथागोरसच्या सूत्राचा वापर करून ते उदाहरण सोडवण्याचा प्रयत्न करणे गरजेचे असते.